第1967题：同理可证

[证明]：对于任意实数 $x$ ，都有 $x-x^2<\dfrac{1}{\mathrm{e}}$

[证]：令$F(x)=\dfrac{1}{\mathrm{e}}$ $-x +x^2$

则 $F'(x)=-1+2x$ ，令 $F'(x)=0$ 得驻点 $x=\dfrac{1}{2}$

又 $F''(x)=2>0$

所以 $F(\dfrac{1}{2})$ 为函数 $F(x)$ 的最小值

$F(\dfrac{1}{2})=$ $\dfrac{1}{\mathrm{e}} -\dfrac{1}{2} +\dfrac{1}{4}$

$=\dfrac{1}{\mathrm{e}} -\dfrac{1}{4}>0$

所以对任意的 $x$ 都有

$F(x) \geqslant F(\dfrac{1}{2})>0$

即 $\dfrac{1}{\mathrm{e}} -x +x^2>0$

得证.

本题证明中的某些步骤，和常数 $\mathrm{e}$ 无关，用同样的方法，我们还可以证明：

A. $x-x^2<\dfrac{1}{\pi}$

B. $x-x^2<\dfrac{1}{2\sqrt{2}}$

C. $x-x^2<\varphi$ $(\varphi=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2})$

D. $x-x^2<\dfrac{1}{3\sqrt{2}}$