第2315题：齐次方程

有些微分方程无法分离变量，例如 $dy(y-x)=ydx$ . 但如果一阶微分方程可化成

$\dfrac{dy}{dx}=$ $\psi \big ( \dfrac{y}{x} \big )$

的形式，称这方程为齐次方程，可通过代换法化为可分离变量的微分方程.

在齐次方程中令 $u=\dfrac{y}{x}$ ，有 $y=ux$ ，$\dfrac{dy}{dx}=u+x\dfrac{du}{dx}$ ，代入原方程得

$u+x\dfrac{du}{dx}=\psi(u)$

可分离变量

$\dfrac{du}{\psi(u)-u}=\dfrac{dx}{x}$

后再两端积分，求出积分后再以 $\dfrac{y}{x}$ 代替 $u$ ，得到齐次方程的通解.

试计算齐次方程 $x\dfrac{dy}{dx}=y\ln \dfrac{y}{x}$ 的解.

A. $\ln \dfrac{y}{x} = Cx +1$

B. $\ln \dfrac{y}{x} = Cy +1$

C. $\ln \dfrac{y}{x} = C\dfrac{y}{x} +1$

D. $\ln \dfrac{y}{x} = C\dfrac{y}{x} +2$