第2380题：估计n!的大小

本题用上一题面积原理的公式来估计 $n!$ 的大小，由对数的性质可将 $\ln n!$ 转为和式

$\ln n!= \displaystyle{\sum_{k=1}^n \ln k}$

令 $f(x)=\ln x$ ，代入上一题的公式，得到

$\int_1^n \ln x dx + \ln 1$  $\leqslant \displaystyle \sum_{k=1}^n \ln k \leqslant$  $\int_1^n \ln x dx +\ln n$ ，

解之得（）.

A. $n^n \mathrm{e}^{1-n} \leqslant \displaystyle n! \leqslant n^{n+1} \mathrm{e}^{1-n}$  

B. $n^n \mathrm{e}^{2-n} \leqslant \displaystyle n! \leqslant n^{n+1} \mathrm{e}^{2-n}$

C. $n^{n-1} \mathrm{e}^{1-n} \leqslant \displaystyle n! \leqslant n^n \mathrm{e}^{1-n}$

D. $n^{n-1} \mathrm{e}^{2-n} \leqslant \displaystyle n! \leqslant n^n \mathrm{e}^{2-n}$

另，用之前题目中提到过伽马函数 $Γ(n+1)=n!$ 可得到： $n!=\int_0^{\infty} x^n \mathrm{e}^{-x}dx$ .