第2331题：伯努利方程

方程 $\dfrac{dy}{dx}+P(x)y$ $=Q(x)y^n (x \ne 0,1)$ 叫做伯努利方程.

当 $x\ne 0$ ，$x \ne 1$ 时伯努利方程不是线性的，可以通过变量代换把它化为线性的.

以 $y^n$ 除方程的两端，得

$y^{-n}\dfrac{dy}{dx}$$+P(x)y^{1-n}=Q(x)$

令 $z=y^{1-n}$ 有

$\dfrac{dz}{dx}=(1-n)y^{-n}\dfrac{dy}{dx}$

于是得到

$\dfrac{dz}{dx}$ $+(1+n)P(x)z$ $=(1-n)Q(x)$

得到线性方程，解出此方程后代换回z得到原方程的通解.

用以上方法解伯努利方程：

$\dfrac{dy}{dx}-y=xy^4$ .

A. $\dfrac{1}{y^4}=$$C\mathrm{e}^{-4x} -x +\dfrac{1}{4}$

B. $\dfrac{1}{y^3}=$ $C\mathrm{e}^{-3x} -x +\dfrac{1}{3}$

C. $\dfrac{1}{y^4}=$ $C\mathrm{e}^{-3x} -x +\dfrac{1}{3}$

D. $\dfrac{1}{y^3}=$ $C\mathrm{e}^{-4x} -x +\dfrac{1}{4}$