第2133题：内积

有向量 $\alpha_1=(1,2,-1,-2)^T$ 与向量 $\alpha_2=(2,3,1,-1)^T$ ，求 $\alpha_1$ 与 $\alpha_2$ 的内积 $(\alpha_1,\alpha_2)$ .

给定 $\mathbb{R}^n$ 中的两个向量

$\alpha=\begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix}$ ，$\beta=\begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{bmatrix}$

称实数

$\displaystyle \sum_{i=1}^n$ $a_i b_i$ $=a_1 b_1+a_2 b_2 +\cdots +a_n b_n$ 为向量 $\alpha$ 与 $\beta$ 的内积，记为 $(\alpha,\beta)$ ，也称为点积并记为 $\alpha \cdot \beta$ .