第2347题：特征方程

为解二阶常系数齐次微分方程

$y''+py'+qy=0$

通常设解为

$y= \mathrm{e}^{rx}$ ，

求导得到

$y'=r \mathrm{e}^{rx}$ , $y''=r^2 \mathrm{e}^{rx}$

代入原方程得到

$(r^2+pr+q) \mathrm{e}^{rx}=0$

由于$\mathrm{e}^{rx} \ne 0$ ，因此 $r^2+pr+q=0$ .

可见只要 $r_1,r_2$ 满足以上方程，函数 $y_1=\mathrm{e}^{r_1 x}$ 和 $y_2=\mathrm{e}^{r_2 x}$ 就是原微分方程的解，又由于

$\dfrac{\mathrm{e}^{r_1 x}}{\mathrm{e}^{r_2 x}}$ = $\mathrm{e}^{(r_1 -r_2)x}$ 不是常数，

所以原方程的通解为

$y=C_1 \mathrm{e}^{r_1 x} +C_2 \mathrm{e}^{r_2 x}$ .

因此，方程 $r^2+pr+q=0$ 也称为原微分方程的特征方程.

根据以上算法，微分方程 $y''-3y'-4y=0$ 的通解为( ).

A. $y=C_1 \mathrm{e}^{-x}+C_2 \mathrm{e}^{2x}$

B. $y=C_1 \mathrm{e}^{-x}+C_2 \mathrm{e}^{3x}$

C. $y=C_1 \mathrm{e}^{-x}+C_2 \mathrm{e}^{4x}$

D. $y=C_1 \mathrm{e}^{-2x}+C_2 \mathrm{e}^{3x}$