第2356题：判断对错

以下是小明解微分方程

$x y''-x (y')^2=y'$

的过程，其结果是错的，请问他从哪一步起出了错？

第一步：

令 $y'=p$ 则 $y''=\dfrac{dp}{dx}$ ，代入原式并整理得

$x \dfrac{dp}{dx} -x p^2 =p$

$\dfrac{dp}{dx} - \dfrac{p}{x} =p^2$

第二步：

两边同时除以 $p^2$

$-\dfrac{dp^{-1}}{dx}-\dfrac{p^{-1}}{x}=1$

$\dfrac{dp^{-1}}{dx}+\dfrac{p^{-1}}{x}=-1$

第三步：

上式是一个关于 $p^{-1}$ 的一阶线性微分方程，套微分方程 $y'+P(x)y=Q(x)$ 的解的公式

$y=\mathrm{e}^{-\int P(x)dx }$ $\Big [ \int Q(x) \cdot \mathrm{e}^{\int P(x) dx}$ $+C \Big ]$

其中$P(x)=\dfrac{1}{x}$ ，$Q(x)=-1$ ，得

$p^{-1}=\mathrm{e}^{-\int \frac{dx}{x}}$ $\Big [ \int -1 \cdot \mathrm{e}^{\int \frac{dx}{x}} +C \Big ]$

第四步：

$p^{-1}=\mathrm{e}^{-\ln |x|}$ $\Big [ \int -1 \cdot \mathrm{e}^{\ln |x|} dx +C \Big ]$

$p^{-1}=\dfrac{1}{x}(\int -xdx +C)$

$=$ $\dfrac{C}{x}-\dfrac{x}{2}$ $=$ $\dfrac{C-x^2}{2x}$

注：上步通分后的 $2C$ 直接写成了$C$ . 另外，$x>0$ 和 $x<0$ 两段内 $C$ 不一定一样，这里全写成 $C$ .

第五步：

令上步中的 $C$ 为$C_1$

$p=y'=\dfrac{2x}{C_1-x^2}$

$y'=\int \dfrac{2xdx}{C_1-x^2}$

用换元法令 $C_1-x^2=u$ ，有 $du=-2xdx$

代入解得

$y= x^2-$$\ln |C_1 -x^2|+C_2$