第2325题：常数变易法步骤

本题使用【常数变易法】思路解上一题的一阶线性非齐次方程

$y'-\dfrac{2y}{x+1}=$$(x+1)^{\frac{3}{2}}$

1）第一步，先计算对应齐次方程的通解

$y'-\dfrac{2y}{x+1}=0$

分离变量并积分得

$\int \dfrac{dy}{y} =2 \int \dfrac{dx}{x+1}$

$\ln |y| = \ln (x+1)^2 +C_1$

$y=\mathrm{e}^{C_1} (x+1)^2$

$y=C(x+1)^2$ ，（ $C=\mathrm{e}^{C_1}$ ）

2）第二步，常数变易法，将上步得到的通解中的 $C$ 换成 $x$ 的未知函数 $u(x)$ ，即作变换

$y=u(x+1)^2$

两端对x求导得

$y'=u'(x+1)^2+2u(x+1)$

这一步惊世骇俗，哪位大神知道这一步是怎么想到的？

3）第三步，将$y$ ，$y'$ 两式代回原非齐次方程

$u'(x+1)^2+2u(x+1)$$-\dfrac{2u(x+1)^2}{x+1}$ $=(x+1)^{\frac{3}{2}}$

整理得到

$u'=?$

解出 $u$ 的原函数为

$u=2(x+1)^{\frac{1}{2}} +C_3$

所以

$y=u(x+1)^2$

$=(x+1)^2 \Big [ 2(x+1)^{\frac{1}{2}}$ $+C_3 \Big ]$

这一步中 $u'$ 等于多少？

A. $u'=(x+1)^{-\frac{1}{2}}$

B. $u'=(x+1)^{\frac{1}{2}}$

C. $u'=\dfrac{2}{3}(x+1)^{-\frac{1}{2}}$

D. $u'=\dfrac{3}{2}(x+1)^{\frac{1}{2}}$