第2370题：抛物线法（辛普森法）

抛物线法的核心思想是：用一系列抛物线（二次函数）弧段来逼近被积函数的曲线，然后计算这些抛物线弧段下的面积之和，作为定积分的近似值. 这种方法比梯形法（用直线段逼近）通常更精确.

抛物线法的步骤为：

1. 基本单元：首先将积分区间 $[a, b]$ 分成 $n$ （ $n$ 必须为偶数）个等长的小区间。每个小区间的长度为 $h = (b - a) / n$ .

2. 每三个点决定一条抛物线：方法的关键在于，每次取三个相邻的等分点（例如 $x_0, x_1, x_2$  或 $x_2, x_3, x_4$ ），用这三点的函数值唯一确定一条抛物线，然后计算该抛物线在区间 $[x_0, x_2]$  下的面积.

3. 一个区间上的抛物线面积：假设三个点为$(x_0, y_0)$ , $(x_1, y_1)$ ,$(x_2, y_2)$ ，其中 $x_1$  是中点. 可以推导出通过这三点的抛物线在 $[x_0, x_2]$ 区间下的面积为：

$S = \dfrac{h}{3} (y_0+ 4y_1 + y_2)$

这个公式是辛普森法的核心.

4. 整体求和：将整个区间$[a, b]$ 上所有这样的抛物线面积相加，就得到了定积分的近似值公式.

辛普森法公式（令 $n=2k$ ）：

$\int_a^b y(x) dx =\dfrac{h}{3}$ $[(y_0+y_{2k})+$$4(y_1+y_3+ \cdots +y_{2k-1})+$$2(y_2+y_4+ \cdots +y_{2k-2})]$ $+R_n$ ,

式中

$R_n=-\dfrac{(b-a)^5}{180n^4} f^{(4)} (\xi'')$  $(a \leqslant \xi'' \leqslant b )$ .

仍以上题 $\pi =4 \int_0^1 \dfrac{dx}{1+x^2}$ 为例，将区间 $[0,1]$ 分成$8$ 段，用辛普森法估算 $\pi$ 的值.

A. 3.138

B. 3.139

C. 3.141

D. 3.142