第2280题：扩展阶乘到实数域

$0.5$ 的阶乘是多少？将近 $300$ 年前哥德巴赫提出这个问题，阶乘本是对整数而言的，如 $3!=3 \times 2 \times 1 =6$ ，将整数及其对应的阶乘画到平面上得到以下不连续的点。

那么，能不能找到一条曲线完美连接这些点呢？就是说，能不能找到一个函数来计算实数的阶乘呢？这一问题被称为泛化阶乘，或阶乘一般化。

哥德巴赫把这个问题留给了伯努利兄弟中的约翰·伯努利，约翰·伯努利曾是欧拉的老师，此问题正好被欧拉看到并最终解决，这就是上一题中的欧拉第二积分，也叫伽玛函数(gamma function)，长相如下：

$Γ(n)=\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} x^{n-1} dx$

改写一下，

$Γ(n+1)=\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} x^n dx$

在上一题中关于伽玛函数的性质有一条 $Γ(n+1)=n!$ ，而其中的 $n$ 并不必须是整数，这正是阶乘的扩展。

上一题中，画出了 $Γ(n)$ 的图形，并不通过整数阶乘点，把图形向左偏移 $1$ 个单位，画出 $Γ(n+1)$ 的图形如下

$Γ(n+1)$ 的图形完美通过整数的阶乘点，将阶乘从整数域扩展到了实数甚至复数域。

以下是伽玛函数的一个JavaScrip实现，

function gamma(x)
 { 
    var p = [0.99999999999980993, 676.5203681218851, -1259.1392167224028,771.32342877765313, -176.61502916214059, 12.507343278686905,-0.13857109526572012, 9.9843695780195716e-6, 1.5056327351493116e-7];
    var g = 7; 
    if (x < 0.5) {
     return Math.PI / (Math.sin(Math.PI * x) * gamma(1 - x));   
    }
    x -= 1;
    var a = p[0];
    var t = x + g + 0.5;
    for (var i = 1; i < p.length; i++) {
        a += p[i] / (x + i);   
    }
    return Math.sqrt(2 * Math.PI) * Math.pow(t, x + 0.5) * Math.exp(-t) * a;
}

可以在电脑记事本里抄写这段代码，复制上，打开一个浏览器，按F12，进入浏览器自带的控制台，粘贴这段代码。回车后，新起一行，输入函数名称传入一个实数，计算得到实数的阶乘。

下面是用Edge浏览器的控制台运行以上代码的截图。

上一题选项中，$0.5$ 的阶乘结果与 $\pi$ 有关，$(0.5)!=Γ(1.5)=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}$ 。

猜一下，gamma(6.8) 约等于多少？

A. 85.622

B. 101.27

C. 367.92

D. 496.61

注：

1、《数学长征》正在改版，在下一版中，每一题都有可能附带一个可交互的图形操作或数据计算以加深理解，像本题这样的计算可以在题目里直接交互，敬请关注。

2、如果你想运行一段程序又没有运行环境，可以像本题一样写成JS代码在浏览器中执行。