第2351题：高阶特征方程

前几题所述求解二阶常系数齐次线性微分方程的过程可以推广到更高阶——例如 $n$ 阶的情况，其特征方程是 $n$ 次代数方程并且有 $n$ 个根（重根按重数计算），其特征方程的每一个根都对应着通解中的一项，且每项各含一个任意常数，从而构成 $n$ 阶常系数齐次线性微分方程的通解.

例如求四阶方程 $y^{(4)}+y'''-2y''=0$ 的通解，其特征方程为 $r^4+r^3-2r^2=0$ ，改写为 $r^2(r^2+r-2)=0$ ，从而得到特征方程的四个根为:

$r_1=0$ ，$r_2=0$ ，$r_3=1$ ，$r_4=-2$

那么原微分方程的通解为（ ）.

A. $y=C_1 \mathrm{e}^x + C_2 \mathrm{e}^{-2x}$

B. $y=C_1 \mathrm{e}^x +C_2 \mathrm{e}^x$ $+ C_3 \mathrm{e}^{-2x}$

C. $y=C_1 +C_2 x+C_3 \mathrm{e}^x$ $+ C_4 \mathrm{e}^{-2x}$

D. $y=(C_1 +C_2 x )\mathrm{e}^x$ $+(C_3+ C_4 x) \mathrm{e}^{-2x}$