第2013题：三角有理函数

由基本三角函数及实数，经有限次加、减、乘、除运算所得的式子，称为三角有理函数.

如 $\dfrac{2}{\cos x \sin x}$ , $\dfrac{\sqrt{2} \sin x}{\tan x (1+ \cos 2x)}$ 等都是三角有理函数.

而 $\dfrac{\sin x \cos x }{ \sqrt {2\sin x +\cos^2 x}}$ 不是三角有理函数.

因 $\tan x$ , $\cot x$ , $\sec x$ , $\csc x$ 总是可以用 $\sin x$ , $\cos x$ 来表示，所以三角有理函数总可以记成

$R(\sin x , \cos x)$

其中 $R(u,v)$ 是关于 $u,v$ 的有理函数，即

$R(u,v)=\dfrac{P(u,v)}{Q(u,v)}$

而 $P(u,v)$ , $Q(u,v)$ 是关于 $u,v$ 的多项式，也就是说它们是有限项的和，每一项都是

$cu^i v^k$

的形式，其中 $c$ 为实数，$i,j$ 为非负整数.

对于三角有理函数的积分，通常可以令 $\tan \dfrac{x}{2} =t$ ,然后用三角函数万能公式将$\sin x$ ，$\cos x$ 表示为关于 $t$ 的函数

$\sin x =\dfrac{2t}{1+t^2}$

$\cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$

来求解，这一变换也随之称为“万能变换”.

那么，三角有理函数的积分

$\int R(\sin x, \cos x) dx$

是否一定可以积出来？

A. 一定可以

B. 不一定可以