第2016题：奥斯特罗格拉茨基积分法

奥斯特罗格拉茨基方法，是指关于有理真分式 $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ 的积分，可以借助代数方法来分离成一个真分式与另一个真分式积分的和，使在新的被积真分式函数中，其分母次数达到最低状态，如果 $P(x)$ 、$Q(x)$ 已知，有公式

$\int \dfrac{P(x)}{Q(x)} dx$ $=\dfrac{P_1 (x)}{Q_1 (x)} +\int \dfrac{P_2 (x)}{Q_2 (x)} dx$

其中，分母 $Q(x)$ 可以分解成一次与二次类型的实因式，$Q(x)=Q_1(x) \cdot Q_2(x)$ ，且 $P_1 (x)$ 和 $P_2 (x)$ 是相应的比 $Q_1 (x)$ 和 $Q_2 (x)$ 更低次的多项式.

例如，求积分

$\int \dfrac{dx}{(x^2+1)^3}$

可设

$Q(x)=(x^2+1)^3$ ，

$Q_1 (x)=(x^2+1)^2$ ，

$Q_2 (x)=x^2+1$

按分子是比分母低次的多项式，设

$\dfrac{1}{(x^2+1)^3}$

= $\Big [$ $\dfrac{Ax^3+Bx^2+Cx+D}{(x^2+1)^2}$ $\Big ]$$'$ $+\dfrac{Ex+F}{x^2+1}$

$=\dfrac{(3Ax^2+2Bx+C)(x^2+1)}{(x^2+1)^3}$

$-\dfrac{4x(Ax^3+Bx^2+Cx+D)}{(x^2+1)^3}$

$+\dfrac{(Ex+F)(x^2+1)^2}{(x^2+1)^3}$

左右分子恒等于 $1$ ，比较两端同次幂的 $x$ 系数可得

$A=\dfrac{3}{8}$

$C=\dfrac{5}{8}$

$F=\dfrac{3}{8}$

$B=D=E=$$?$

于是：

$\int \dfrac{1}{(x^2+1)^3}$ $=\dfrac{x(3x^2+5)}{8(x^2+1)^2}$ $+\dfrac{3}{8} \int \dfrac{dx}{x^2+1}$

$=\dfrac{x(3x^2+5)}{8(x^2+1)^2}$ $+\dfrac{3}{8} \arctan x +C$ .

奥斯特罗格拉茨基（Ostrogradsky，Mikhail Vasilievich；1801～1862），俄国数学家，物理学家。俄国理论力学学派的创始人和彼得堡数学学派的奠基者之一。其科学研究涉及分析力学、理论力学、数学物理、概率论、数论和代数学等多方面。他最重要的数学工作是在1828年研究热传导理论的过程中，证明了关于三重积分和曲面积分之间关系的公式。在力学方面，他对球形射弹的飞行进行了大量的理论研究和实验，提出了偏心射弹在空中运动的微分方程。他研究了天体力学和分析力学，独立表述了哈密顿变分原理并推广了可能位移原理。

摘自《吉米多维奇数学分析习题集》