第2361题：积分技巧

求解积分：$\int \dfrac{dx}{1+x^3}.$

A. $\dfrac{1}{3} \ln|x+1|$ $-\dfrac{1}{6}\ln|x^2-x+1|$ $+\dfrac{\sqrt{3}}{3} \arctan {\dfrac{2x-1}{\sqrt{3}}}$ $+C$

B.$\dfrac{1}{3} \ln|x+1|$ $-\dfrac{1}{6}\ln|x^2-x+1|$ $+\dfrac{2\sqrt{3}}{3} \arctan {\dfrac{2x-1}{\sqrt{3}}}$ $+C$

C.$\dfrac{1}{3} \ln|x+1|$ $+\dfrac{1}{3}\ln|x^2-x+1|$ $+\dfrac{\sqrt{3}}{3} \arctan {\dfrac{2x-1}{\sqrt{3}}}$ $+C$

D. $\dfrac{1}{3} \ln|x+1|$ $+\dfrac{1}{3}\ln|x^2-x+1|$ $+\dfrac{2\sqrt{3}}{3} \arctan {\dfrac{2x-1}{\sqrt{3}}}$ $+C$

提示：

$1+x^3=(1+x)(x^2-x+1)$

令

$\dfrac{1}{1+x^3}=$ $\dfrac{A}{1+x}$ $+\dfrac{Bx+C}{x^2-x+1}$ .