第2015题：二项式微分式

积分

$\int x^m(a+bx^n)^p dx$

称为二项式微分式的积分，其中 $a,b$ 为常数，$m,n,p$ 为有理数. 这个积分不满足上一题中的两个条件：

1）无根式套根式；

2）根式内为同一线性分式.

当 $p,n$ 为有理数时，被积函数是根式套根式；当 $n=1$， $p,m$ 为有理数时，根式内的线性分式，一个为 $x$ ，一个为 $a+bx$ .

对其作变换先消除根式套根式的情形，令

$x^n=t$

则

$x=t^{\frac{1}{n}}$

$dx=\dfrac{1}{n} t^{\frac{1}{n}-1} dt$

所以

$\int x^m(a+bx^n)^p dx$

$=\dfrac{1}{n} \int t^{\frac{m+1}{n}-1} (a+bt)^p dt$

$=\dfrac{1}{n} \int t^{\frac{m+1}{n}+p-1} \Big ( \dfrac{a+bt}{t} \Big )^p dt$

现在只要根式内为同一线性分式，积分就满足上述两个条件

有三种情形

[1] 当 $p$ 是整数时，最多含有一个根式，根式内为线性分式 $t$ ，可积.

[2] 当 $\dfrac{m+1}{n}$ 是整数时，最多含有一个根式，根式内的线性分式为 $a+bt$ ，可积.

[3] 当 $\dfrac{m+1}{n}+p$ 是整数时，最多含有一个根式，根式内的线性分式为 $\dfrac{a+bt}{t}$ ，可积.

有数学家证出，除去这三种情况外，二项式微分式的积分是积不出来的，即原函数是非初等函数，请问是谁做出了这一证明？

A. 罗巴切夫斯基

B. 切比雪夫

C. 庞加莱

D. 魏尔斯特拉斯