第2124题：线性方程组的应用

热传导的研究中，有一个重要问题是确定某一块平板的稳态温度分布，已知边界上的温度分布，假设上图中的平板代表一条金属梁的截面，忽略垂直于该截面方向上的热传导，设 $T_1,T_2,T_3,T_4$ 表示图中 $4$ 个内部结点的温度，某一节点的温度近似地等于 $4$ 个与它最接近的结点（上下左右）的平均值，就本图而言，得到一个方程组：

$\begin{cases} 4T_1 -T_2-T_4=30 \\ -T_1 +4T_2 -T_3 =60 \\ -T_2 +4T_3 -T_4 =70 \\ -T_1 -T_3 +4T_4=40 \end{cases}$

其增广矩阵为

$\begin{bmatrix} 4 & -1 & 0 & -1 & 30 \\ -1 & 4 & -1 & 0 & 60 \\ 0 & -1 & 4 & -1 & 70 \\ -1 & 0 & -1 & 4 & 40 \end{bmatrix}$

请利用行初等变换以上矩阵进行行化简，化简为简化阶梯形，并计算出 $T_1$ 和 $T_3$ 的温度.