第2322题：可化为齐次的方程

在上上题中，对于非齐次微分方程

$\dfrac{dy}{dx}=$$\dfrac{ax + by+c}{a_1 x+b_1 y+c_1}$

可以令 $x=X+h$ ，$y=Y+k$ 将以上方程化为关于 $X$ 和 $Y$ 的齐次微分方程

方法是将式子

$\begin{cases} aX+bY+ah+bk+c \\ a_1 X +b_1 Y+ a_1 h +b_1 k +c_1 \end{cases}$

中的以下部分设为 $0$

$\begin{cases} ah+bk+c =0 \\ a_1 h +b_1 k +c_1=0 \end{cases}$

求出 $h$ 和 $k$ 来代回原方程化为齐次的.

$h$ 和 $k$ 有解的前提是系数行列式不等于 $0$ ，

$\begin{vmatrix} a & b \\ a_1 & b_1 \end{vmatrix} \ne 0$

即 $\dfrac{a}{a_1} \ne \dfrac{b}{b_1}$ .

如果 $\dfrac{a}{a_1} = \dfrac{b}{b_1}$ ，可以令 $\dfrac{a}{a_1} = \dfrac{b}{b_1}=\lambda$ ，有

$\dfrac{dy}{dx}=$$\dfrac{ax + by+c}{\lambda (ax+by)+c_1}$

再令 $v=ax+by$ ，得到

$\dfrac{dv}{dx} =a+b\dfrac{dy}{dx}$ ，即

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{b} \Big ( \dfrac{dv}{dx} -a \Big )$

联立得到

$\dfrac{dv}{dx}=$ $b \dfrac{v+c}{\lambda v +c_1} +a$

分离变量后得到积分方程

$\int dx=$ $\int \dfrac{\lambda v + c_1}{ a \lambda v +bv+bc+ac_1} dv.$

解后再一层层代换回去得到结果.

请用以上方法计算以下微分方程的解.

$\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x+y}{3x+3y-6}$ .

A. $C=x+3y+2\ln |x+y-2|$

B. $C=x+3y+3\ln |x+y-3|$

C. $C=x+3y+2\ln |x+y-3|$

D. $C=x+3y+3\ln |x+y-2|$