第2111题：找出错误的一步

【题目】

求向量组 

$\alpha _1 =(3,0,-1)^T$

$\alpha _2 =(-2,5,4)^T$

$\alpha _3 =(6,15,8)^T$

的秩，并求其一个极大无关组.

【解】

1）构造矩阵 $A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ ，对 $A$ 进行初等变换

2）$A=\begin{bmatrix} 3 & -2 & 6 \\ 0 & 5 & 15 \\ -1 & 4 & 8 \end{bmatrix}$ $\rightarrow \begin{bmatrix} -1 & 4 & 8 \\ 0 & 5 & 15 \\ 3 & -2 & 6 \end{bmatrix}$

3）$\rightarrow \begin{bmatrix} -1 & 4 & 8 \\ 0 & 5 & 15 \\ 0 & 10 & 30 \end{bmatrix}$ $\rightarrow \begin{bmatrix} -1 & 4 & 8 \\ 0 & 5 & 15 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

4）$\rightarrow \begin{bmatrix} -1 & 4 & 8 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ $\rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & -4 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

5）所以向量组的秩为 $2$ ，其一个极大无关组是 $\alpha_1,\alpha_2$ .