第2357题：微分算子

关于微分算子，以下哪项是错误的？

A. 微分算子（一般用 $D$ 表示）是一个作用于可微函数的运算，其输出是该函数的导数或导数的线性组合，可将函数映射为另一个函数。

B. 定义一阶微分算子 $D=\dfrac{d}{dx}$ ，作用于函数 $f(x)$ 时$D[f(x)]=\dfrac{d}{dx} f(x)$ $=f'(x)$ ，例如：

算子：$D=\dfrac{d}{dx}$

函数：$f(x)=3x^2+\sin x$

作用：$D[f]=\dfrac{d}{dx}(3x^2+sinx)$

$=6x+\cos x$

C. 定义二阶微分算子 $D^2=\dfrac{d^2}{dx^2}$ ，作用于函数 $f(x)$ 时 $D^2[f(x)]=\dfrac{d^2}{dx^2} f(x)$ $=f^{(2)}(x)$ ，例如：

算子：$D^2=\dfrac{d^2}{dx^2}$

函数：$f(x)=\mathrm{e}^{(2x)}$

作用：$D^2[f]=\dfrac{d^2}{dx^2}(\mathrm{e}^{(2x)})$

$=\dfrac{d}{dx}(2\mathrm{e}^{(2x)})$

$=4\mathrm{e}^{(2x)}$

D. 定义线性组合算子：$\mathcal{L} =$ $2D^2-3D+5$

函数：$f(x)=x^3$

作用：$\mathcal{L} [f]=2 \dfrac{d^2}{dx^2} (x^3)$ $-3\dfrac{d}{dx} (x^3) +5$

$=12x-9x^2+5$

E. 设线性组合算子 $\mathcal{L}$ 对函数 $y(x)$ 作用得到函数 $f(x)$ ， $\mathcal{L} [y(x)]=f(x)$ ，若存在算子 $\mathcal{L} ^{-1}$ 使得 $y_p=\mathcal{L} ^{-1} [f(x)]$ 是方程的一个特解，称 $\mathcal{L} ^{-1}$ 为 $\mathcal{L}$ 的逆算子. 逆算子也叫积分算子，并不是将映射后的函数“逆”回去，它只是求特解的工具.