第2324题：常数变易法

使用【常数变易法】解得一阶线性非齐次微分方程

$\dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$

的通解为

$y=\mathrm{e}^{-\int P(x)dx}$ $\Big ( \int Q(x) \mathrm{e}^{\int P(x)dx} dx$ $+C \Big )$

将以上通解写成两项之和，得

$y=C\mathrm{e}^{-\int P(x)dx} +$ $\mathrm{e}^{- \int P(x)dx}$ $\int Q(x) \mathrm{e}^{ \int P(x)dx} dx$

上式中第一项是齐次线性方程 $\dfrac{dy}{dx}+P(x)y=0$ 的通解. 第二项是非齐次线性方程 $\dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$ 的一个特解.

因此，一阶非齐次线性方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和.

套用以上公式，计算

$y'-\dfrac{2y}{x+1}=(x+1)^{\frac{3}{2}}$

的通解为（ ）.

A. $y=(x+1)^2$ $[2(x+1)^{\frac{1}{2}}+C]$

B. $y=(x+1)^2$ $\Big [$ $\dfrac{2}{3} (x+1)^{\frac{1}{2}}$ $+C \Big ]$

C. $y=(x+1)^2 \Big [$ $\dfrac{2}{3} (x+1)^{\frac{3}{2}}$ $+C \Big ]$

D. $y=(x+1)^2 \Big [$ $\dfrac{3}{2} (x+1)^{\frac{1}{2}}+C \Big ]$