第2245题：线性组合与仿射组合

向量的仿射组合是向量的线性组合的特殊形式. 给定 $\mathbb{R} ^n$ 空间中向量 $\bold{v_1},\bold{v_2},\cdots,\bold{v_n}$ 和标量 $c_1,c_2,\cdots,c_n$ ，当 $c_1+c_2+\cdots+c_n=1$ 时，线性组合$c_1 \bold{v_1}+c_2 \bold{v_2}+$$\cdots+c_n \bold{v_n}$ 称为向量 $\bold{v_1},\bold{v_2},\cdots,\bold{v_n}$ 的一个仿射组合.

仿射组合和线性组合之间有以下关系：

对于向量 $\bold{v_1},\bold{v_2},\cdots,\bold{v_n}$ ，当且仅当 $\bold{y}-\bold{v_1}$ 是平移点 $\bold{v_2}-\bold{v_1},\bold{v_3}-\bold{v_1}$$,\cdots,\bold{v_n}-\bold{v_1}$ 的线性组合时，$\bold{y}$ 是向量 $\bold{v_1},\bold{v_2},\cdots,\bold{v_n}$ 的一个仿射组合.

设有向量

$\bold{v_1}=\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$ ，$\bold{v_2}=\begin{bmatrix} 2 \\ 5 \end{bmatrix}$ ，$\bold{v_3}=\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}$ ，$\bold{v_4}=\begin{bmatrix} -2 \\ -3 \end{bmatrix}$

以及向量

$\bold{y}=\begin{bmatrix} 5 \\ 4 \end{bmatrix}$

为了将 $\bold{y}$ 写成 $\bold{v_1},\bold{v_2},\bold{v_3},\bold{v_4}$ 的仿射组合，根据仿射组合和线性组合之间的关系，可以设三个标量 $c_2,c_3,c_4$ ，使下式成立,

$c_2(\bold{v_2}-\bold{v_1})+c_3(\bold{v_3}-\bold{v_1})$ $+c_4(\bold{v_4}-\bold{v_1})=\bold{y}-\bold{v_1}$

得到增广矩阵

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 & 4 \\ 3 & -1 & -5 & 2 \end{bmatrix}$

行化简得到

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & -\dfrac{13}{7} & \dfrac{8}{7} \\ 0 & 1 & -\dfrac{4}{7} & \dfrac{10}{7} \end{bmatrix}$

从而得到题目要求的仿射组合，以下仿射组合哪些是正确的？

A. $\bold{y}=-\dfrac{11}{7} \bold{v_1}+$$\dfrac{8}{7} \bold{v_2}+ \dfrac{10}{7} \bold{v_3}$

B. $\bold{y}=-\dfrac{13}{7} \bold{v_1}+ \dfrac{8}{7} \bold{v_2}$ -$\dfrac{4}{7} \bold{v_3}+ \dfrac{10}{7} \bold{v_4}$

C. $\bold{y}=-5 \bold{v_1}+ 3 \bold{v_2}$$+ 2 \bold{v_3} + \bold{v_4}$

D. $\bold{y}=5 \bold{v_1}+\bold{v_2}$ $- 3 \bold{v_3}-2\bold{v_4}$