第2383题：欧拉常数

由欧拉常数的定义：

$\gamma=\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \Big ( \sum_{k=1}^ {n-1} \dfrac{1}{k} - \ln n \Big )}$

可得

$\displaystyle{ \sum_{k=1}^ {n} \dfrac{1}{k}} =\ln n + \gamma +O(\dfrac{1}{n})$

即前 $n$ 个自然数倒数的和等于 $\ln n$ 加上欧拉常数再加一个以 $1/n$ 速度收敛到零的量.

利用这一公式，计算以下级数的和

$S=\displaystyle{ \sum_{k=1}^ {\infty} (-1)^{k-1}\dfrac{1}{k}}$

A. $S=\gamma$

B. $S=2\gamma$

C. $S=\ln 2$

D. $S=\gamma \ln n$

提示，设：

$S_n=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}$ $-\dfrac{1}{4}+\cdots+\dfrac{1}{n}$

$S_{2n}=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}$$-\dfrac{1}{4}+\cdots-\dfrac{1}{2n}$