第2381题：估计和式的大小

面积原理是用积分来估计和式，如图1，推导曲线下的面积时，用一系列小矩形（或梯形）的和逼近，当小矩形步长足够小时，曲线下的面积可以准确求得. 反过来，这些矩形面积和的大小就可以用曲线下的面积来估计.

如图2，设 $f(x)$ 是一个非负的增函数,在积分区间内（本题为 $[0,\xi]$ ），从几何意义上来说，有以下定理：所有小矩形面积之和减去曲线下面积后结果小于等于 $f(x)$ 在 $\xi$ 点对应的函数值，可以表达为（ ）.

A. $\Big | \displaystyle{\sum_{k=1}^{\xi}} f(k) -\int_1^{\xi} f(x)dx \Big | = 0$

B. $\Big | \displaystyle{\sum_{k=1}^{\xi}} f(k) -\int_1^{\xi} f(x)dx \Big | \leqslant f(\xi)$

C. $\displaystyle{\lim_{\xi \to \infty }} \Big ( \displaystyle{\sum_{k=1}^{\xi}} f(k) -\int_1^{\xi} f(x)dx \Big ) =0$

D. $\displaystyle{\lim_{\xi \to \infty }} \Big ( \displaystyle{\sum_{k=1}^{\xi}} f(k) -\int_1^{\xi} f(x)dx \Big ) \leqslant f(\xi)$

题中求和上限应该是$[\xi]$ ，因为小矩形只能是整数个。