第2086题：考研题

[题目] 设 $A=\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 \\ -2 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & -6 & 7 \end{bmatrix}$ ，$E$ 为四阶单位阵，且 $B=(E+A)^{-1}(E-A)$ ，则 $(E+B)^{-1}=$ ___________.

[解]

1）$B+E=(E+A)^{-1}(E-A)+E$

2）$=(E+A)^{-1} (E-A)+(E+A)^{-1} (E+A)$

3）$=(E+A)^{-1}[(E-A)+(E+A)]$

4）$=2(E+A)^{-1}$

5）所以，$(B+E)^{-1}=[2(E+A)^{-1}]^{-1}$

6）$=2(E+A)$

7）$=\begin{bmatrix} 4 & -2 & 0 & 0 \\ -4 & 8 & 0 & 0 \\ 0 & -8 & 12 & 0 \\ 0 & 0 & -6 & 14 \end{bmatrix}$

本题为2000年考研题.