第2294题：椭圆的周长

计算椭圆 $\begin{cases} x=a \cos \theta, \\ y=b \sin \theta \end{cases}$ 的弧长$s$ ，由参数方程下的弧长公式得

$s=$ $4\int_0^{\frac{\pi}{2}}$ $\sqrt{a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta} d \theta$

令 $c=\sqrt{a^2-b^2}$ ，

离心率 $\epsilon=\dfrac{c}{a}$

以上积分可简化为

$s=4a\int_0^{\frac{\pi}{2}}$ $\sqrt{ 1 -\epsilon ^2 \sin^2 \theta} d \theta$

这个积分称为椭圆积分，无法积出来，即找不到被积函数的原函数，用换元法积下去最终会得到另几个椭圆积分. 因此椭圆的周长没有精确的初等公式.

在民间的某个电线杆上有一个简单椭圆周长公式，请问它是精确的吗？

注：

印度数学家拉马努金在他的笔记《模方程和 $\pi$ 的近似》中给出了椭圆的两个近似式，来体验一下穿越者的压迫感.

近似式1

$s \approx \pi \Big [$ $3(a+b)$ $-\sqrt{(a+3b)(3a+b)}$ $+ \lambda \Big ]$

其中 $\lambda= \dfrac{a \epsilon ^{12}}{2^{20}}$

近似式2

$s \approx \pi \Big [$ $(a+b)$ $+ \dfrac{3(a-b)^2}{10(a+b)+\sqrt{a^2+14ab+b^2}}$ $+ \lambda \Big ]$

其中$\lambda= \dfrac{3a \epsilon ^{20}}{2^{36}}$

$\epsilon$ 为离心率.