第2336题：非初等积分

在数学分析中，许多积分无法用初等函数（多项式、指数、对数、三角函数等有限组合）表示，这类积分称为非初等积分，如上一题中微分方程 $y''-xy'=0$ 的解 $\int \mathrm{e}^{\frac{x^2}{2}} dx$ 就是经典的非初等积分.

再如波动方程、电磁学中常用到的贝塞尔积分

$J_0(x)=\dfrac{1}{\pi} \int \cos(x \sin \theta) d\theta$

是微分方程$xy''-+y'+xy=0$ 的解，也是经典的非初等积分.

以下积分中只有一个初等积分，猜一下是哪个？

A. $\int \sin ^2 x dx$

B. $\int \sqrt{\sin x}dx$

C. $\int \sin (x^2) dx$ 或 $\int \cos (x^2) dx$ （菲涅尔积分）

D. $\int \dfrac{\sin x}{x} dx$ 或 $\int \dfrac{\cos x}{x} dx$ （积分正弦、积分余弦）

E. $\int \dfrac{1}{\ln x} dx$ （对数积分，$li(x)$ 函数）

F. $\int \dfrac{\mathrm{e}^x}{x} dx$  （指数积分，$Ei$ 函数）

G. $\int \mathrm{e}^{x^2} dx$  （指数增长过快）

H. $\int \mathrm{e}^{-x^2} dx$ （高斯积分）

I. $\int \sqrt{1-k^2 \sin^2 x} dx$ （第二类椭圆积分）

J. $\int \dfrac{dx}{\ln x +3}$

注：

高斯积分的定积分 $\int _{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$ .