第2360题：利用双曲函数

双曲函数

$\cosh t=\dfrac{\mathrm{e}^t +\mathrm{e}^{-t} }{2}$

$\sinh t=\dfrac{\mathrm{e}^t -\mathrm{e}^{-t} }{2}$

常用来解含 $\sqrt{a^2+x^2}$ 的积分.

双曲函数有以下三个性质：

（1）

$(\cosh t)'=\sinh t$ ,

$(\sinh t)'=\cosh t$ .

（2）

$\cosh ^2 t - \sinh ^2 t =1$ ,

$\cosh 2t=\cosh ^2 t + \sinh ^2 t$ ,

$\sinh 2t=2\sinh t \cosh t$ .

（3）

$x=\sinh t$ 的反函数为 $t=\ln (x+\sqrt{1+x^2})$ ,

$x=\cosh t$ 的反函数为 $t=\ln (x+\sqrt{x^2-1})$ .

请利用这三条性质，再做变量代换：$x=a \sinh t$ 计算以下积分

$\int \dfrac{dx}{\sqrt{a^2+x^2}}$ （$a>0$ ） .

A. $=\ln(\sqrt{a^2+x^2})+C$

B. $=\ln(a+\sqrt{a^2+x^2})$ $+C$

C. $=\ln(x+\sqrt{a^2+x^2})$$+C$

D. $=\ln(x^2+x+a^2)$ $+C$

对于含有$\sqrt{a^2-x^2}$ 项的积分，可以令 $x=a \sin t$ 来代换.