第2206题：三维空间中的有向面积

如上图，在向量空间 $\mathbb{R}^3$ 中有三个满足右手规则的自然基，$\bold{e_1},\bold{e_2},\bold{e_3}$ . 假设在 $\mathbb{R}^3$ 中有两个三维向量 $\bold{b}=\begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix}$ , $\bold{c}=\begin{bmatrix} bc_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{bmatrix}$ ，它们所围成的三维空间中的有向面积为 $\bold{S} =\bold{b} \times \bold{c}$ ，则(  ).

A. $\bold{S}= \begin{vmatrix} b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{vmatrix} \bold{e_1}$ $+\begin{vmatrix} b_2 & c_2 \\ b_3 & c_3 \end{vmatrix} \bold{e_2}+\begin{vmatrix} b_3 & c_3 \\ b_1 & c_1 \end{vmatrix} \bold{e_3}$

B. $\bold{S}= \begin{vmatrix} b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{vmatrix} \bold{e_2}$ $+\begin{vmatrix} b_2 & c_2 \\ b_3 & c_3 \end{vmatrix} \bold{e_3}+\begin{vmatrix} b_3 & c_3 \\ b_1 & c_1 \end{vmatrix} \bold{e_1}$

C. $\bold{S}= \begin{vmatrix} b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{vmatrix} \bold{e_3}$ $+\begin{vmatrix} b_2 & c_2 \\ b_3 & c_3 \end{vmatrix} \bold{e_2}+\begin{vmatrix} b_3 & c_3 \\ b_1 & c_1 \end{vmatrix} \bold{e_1}$

D. $\bold{S}= \begin{vmatrix} b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{vmatrix} \bold{e_3}$ $+\begin{vmatrix} b_2 & c_2 \\ b_3 & c_3 \end{vmatrix} \bold{e_1}+\begin{vmatrix} b_3 & c_3 \\ b_1 & c_1 \end{vmatrix} \bold{e_2}$

注：可用 $\bold{S}= \begin{vmatrix} e_1 & b_1 & c_1 \\ e_2 & b_2 & c_2 \\ e_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}=0$ 来帮助记忆，其中第一列是自然基向量.