第2348题：特征方程

上题中微分方程的特征方程的 $r^2+pr+q=0$ 根是两个不相等的实根，如果特征方程的两个根相同 $r_1=r_2=-\dfrac{p}{2}$ ，只得到微分方程的一个解 $y_1=\mathrm{e}^{r_1 x}$ ，如何找出微分方程的另一个解来构成通解呢？

一个简单的办法是令 $y_2=x\mathrm{e}^{r_1 x}$ ，正好满足 $\dfrac{y_2}{y_1}=x$ 不是常数，验证 $y_2$ 是否原方程的解：

$y_2 '=\mathrm{e}^{r_1 x} (1+r_1 x)$

$y_2 ''=\mathrm{e}^{r_1 x} (2r_1 +r_1^2 x)$

代入原二阶常系数齐次微分方程 $y''+py'+qy=0$ ，得到

$\mathrm{e}^{r_1 x} [ 2r_1 +p$ $+x(r_1^2+pr_1 +q) ]$

其中 $2r_1 +p=0$ ， $r_1^2+pr_1 +q=0$ ，所以是原方程的解. 从而二阶常系数齐次微分方程的通解为：

$y=C_1 \mathrm{e}^{r_1 x} + C_2 x \mathrm{e}^{r_1 x}.$

根据以上算法，求微分方程 $y''+2y'+y=0$ 的通解.

A. $y=C_1 \mathrm{e}^{-x}+C_2 x \mathrm{e}^{-x}$

B. $y=C_1 \mathrm{e}^{-x}+C_2 x\mathrm{e}^{x}$

C. $y=C_1 \mathrm{e}^{-x}+C_2 \mathrm{e}^{-x}$

D. $y=C_1 \mathrm{e}^{x}+C_2 x\mathrm{e}^{-x}$