第2362题：切比雪夫判别法

对于形如 $f(x)=$ $x^\alpha (a+bx^\beta)^\gamma$ （ $a,b$ 是实数，$\alpha,\beta,\gamma$ 是的理数）的函数，俄罗斯数学家切比雪夫（Chebychёv，1821-1894）证明了：

1）如果 $\gamma$ ， $\dfrac{\alpha+1}{\beta}$ ，$\dfrac{\alpha+1}{\beta}+\gamma$ 三个数中有一个是整数，那么函数可化作有理函数一类求原函数；

2）其他情况下此类型函数不能用初等函数来表示.

例如计算积分

$\int \dfrac{dx}{\sqrt[3]{x}(1+\sqrt{x})}$

可先写成

$\int x^{-1/3} (1+x^{1/2})^{-1} dx$

此时 $\alpha =-1/3$ ，$\beta=1/2$ ，$\gamma=-1$ ，因 $\gamma$ 是整数，被积函数可有理化.

令 $t=x^{1/2}$ ，则 $x=t^2$ ，$dx=2tdt$ ，原式化为

$2\int \dfrac{t^{1/3}}{1+t} dt$ ，

再令 $u=t^{1/3}$ 再做一次代换，将上式化为 $6u-6\int \dfrac{du}{1+u^3}$ 后进一步求解.

请用切比雪夫判别法判断以下哪些函数具有初等原函数？

A. $f(x)=\dfrac{\sqrt[3]{x}}{x(\sqrt{x}+\sqrt[3]{x})}$

B. $f(x)=\dfrac{\sqrt{1+x^2}}{2+x^2}$

C. $f(x)= \dfrac{x}{\sqrt{x+1}+\sqrt[3]{x+1}}$

D. $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x} \sqrt[4]{1+x^4}}$

函数的连续摸：

一般“积不出来”不是一个专业术语，它指的是一个函数不存在初等原函数。而可积的概念指的是一个定积分收敛。所有连续函数在闭区间上都是黎曼可积的。然而，即使一个函数是“积不出来”的，但是其在某个区间上的定积分有可能是具有初等函数的解析表达的，例如：$e^{-x^2}$ 不具有初等原函数，但是其在欧氏空间 $\mathbb R$ 上的积分是 $\sqrt{\pi}$ .