第2358题：积分不等式

如果a,b为实数，有三角不等式

$|a \pm b| \leqslant |a| + |b|$

这一结论对于离散的多个实数也成立

$|a_1 \pm a_2 \pm \cdots \pm a_n |$ $\leqslant | a_1| + |a_2| + \cdots +|a_n|$

继续推广，对于连续情况，设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，有以下积分不等式成立

$\Big | \int_a^b f(x)dx \Big |$ $\leqslant \int_a^b |f(x)|dx$ .

设以下$f(x)$ ，$g(x)$ 在区间 $[a,b]$ 内可积且平方可积，判断哪个积分不等式是错误的？

A. 在 $[a,b]$ 上若存在 $f(x) \leqslant g(x)$ ，则有

$\int_a^b f(x)dx \geqslant \int_a^b g(x) dx$ .

B. 由柯西-施瓦茨不等式 $(ac+bd)^2 \leqslant (a^2+b^2)(c^2+d^2)$ 推广得到

$\Big [ \int_a^b f(x) \cdot g(x)dx \Big ]^2$ $\leqslant \int_a^b f^2(x)dx \cdot \int_a^b g^2(x)dx$ .

C. 由均值不等式 $\sqrt{ab} \leqslant \dfrac{a+b}{2}$ $\leqslant \sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}$ 推广得到

$\dfrac{1}{b-a} \int_a^b f(x)dx$ $\geqslant \mathrm{exp} \Big ( \dfrac{1}{b-a} \int_a^b \ln f(x)dx \Big )$

其中 $\mathrm{exp}(n)$ 表示 $\mathrm{e}^n$ .

D. 若 $m,M$ 分别为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最小值和最大值，则有

$m(b-a) \leqslant \int_a^b f(x) dx$ $\leqslant M(b-a)$ .