第2236题：正交投影

考虑 $\mathbb{R}^n$ 中一个向量 $\bold{y}$ 分解为两个向量之和的问题，一个向量是向量 $\bold{u}$ 的数量积 $a \bold{u}$ ，另一个向量是与 $\bold{u}$ 垂直的向量 $\bold{z}$ ，如下图.

我们期望写成 $\bold{z}=\bold{y}-\hat{\bold{y}}$

$\bold{y}=\hat{\bold{y}}+\bold{z}$

其中 $\hat{\bold{y}}=a \bold{u}$ ( $\hat{\bold{y}}$ 可念作 y-hat，或y-帽)，$a$ 是一个数.

$\bold{z}=\bold{y}-\hat{\bold{y}}$ ，与 $\bold{u}$ 正交的充分必要条件是

$(\bold{y}-a\bold{u}) \cdot \bold{u}$

$=\bold{y}\cdot \bold{u}-a(\bold{u}\cdot \bold{u})$

$=0$

得到 $a=\dfrac{\bold{y}\cdot \bold{u}}{\bold{u}\cdot \bold{u}}$

$\hat{\bold{y}}=\dfrac{\bold{y}\cdot \bold{u}}{\bold{u}\cdot \bold{u}} \cdot \bold{u}$

向量 $\hat{\bold{y}}$ 称为 $\bold{y}$ 在 $\bold{u}$ 上的正交投影，向量 $\bold{z}$ 称为 $\bold{y}$ 垂直于$\bold{u}$ 的分量.

 设 $y=\begin{bmatrix} 6 \\ 3 \end{bmatrix}$ ，$u=\begin{bmatrix} 2 \\ 6 \end{bmatrix}$ ,

求 $\bold{y}$ 在 $\bold{u}$ 上的正交投影 $\hat{\bold{y}}$ .

A. $\hat{\bold{y}}=\begin{bmatrix} \dfrac{3}{2} \\ \\ \dfrac{9}{2} \end{bmatrix}$

B. $\hat{\bold{y}}=\begin{bmatrix} \dfrac{3}{4} \\ \\ \dfrac{9}{4} \end{bmatrix}$

C.$\hat{\bold{y}}=\begin{bmatrix} \dfrac{4}{3} \\ \\ \dfrac{7}{3} \end{bmatrix}$

D. $\hat{\bold{y}}=\begin{bmatrix} \dfrac{2}{3} \\ \\ \dfrac{7}{6} \end{bmatrix}$