第2371题：计算卡塔兰常数

卡塔兰常数

$G=\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{3^2}$ $+\dfrac{1}{5^2}-\dfrac{1}{7^2}+\cdots$

$=\displaystyle {\sum_{n=0}^{\infty}} (-1)^n \dfrac{1}{(2n+1)^2}$

$=\int_0^1 \dfrac{\arctan x}{x} dx$

$=\dfrac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{x}{\sin x} dx$

$\approx 0.915965594177219$

取 $y=\dfrac{\arctan x}{x}$ ，在区间[0,1]上用辛普森公式计算

A. 0.91594

B. 0.91595

C. 0.91597

D. 0.91598

注：

将 $\arctan x$ 展开

$\arctan x=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \dfrac{x^{2n+1}}{2n+1}$

代入 $\int_0^1 \dfrac{\arctan x}{x} dx$ 得到 $G$ .