第2286题：随球面的体积

上一题中的旋转椭球体在垂直于$Ox$ 轴方向上的切面都是圆，如果这个切面也是一个椭圆，如下图，被称为椭球面

椭球面的方程为

$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}$ $+\dfrac{z^2}{c^2}=1$

根据上一题的结果，推测一下此椭球面的体积是多少？

A. $\dfrac{3}{4} \pi \sqrt[3]{abc}$

B. $\dfrac{3}{4} \pi abc$

C. $\dfrac{4}{3} \sqrt[3]{abc}$

D. $\dfrac{4}{3} \pi abc$

注：用垂直于 $Ox$ 轴的平面截椭球面得到的截痕为一椭圆，它在 $yOz$ 平面上的投影为

$\dfrac{y^2}{b^2 \Big ( 1- \dfrac{x^2}{a^2} \Big )}$ $+\dfrac{z^2}{ c^2 \Big ( 1- \dfrac{x^2}{a^2} \Big ) } =1$

所以其半轴分别为

$b \sqrt{ 1- \dfrac{x^2}{a^2}}$ ，$c \sqrt{ 1- \dfrac{x^2}{a^2}}$

因此，此截椭圆的面积为

$S(x)=\pi bc \Big ( 1- \dfrac{x^2}{a^2} \Big )$ , -$a \leqslant x \leqslant a$

所求椭球面的体积为

$V=\int_{-a}^{a} S(x)dx$ .