第2339题：悬链线

如下图，

设有一根均匀、柔软的绳索，两端固定，绳索仅受重力的作用而下垂，该绳索在平衡状态时的曲线叫做悬链线，悬链线的微分方程为：

$y''=\dfrac{1}{a}\sqrt{1+y^{'2}}$

其中，$a$ 为绳索最底端与坐标原点间的距离。求当初值条件为

$y|_{x=0}=a$ ，$y'|_{x=0}=0$

时，此微分方程的特解.

A. $y=2a( \mathrm{e}^{\frac{x}{a} }+ \mathrm{e}^{-\frac{x}{a}} )$

B. $y=a( \mathrm{e}^{\frac{x}{a} }+ \mathrm{e}^{-\frac{x}{a}} )$

C. $y=\dfrac{a}{2} ( \mathrm{e}^{\frac{x}{a} }+ \mathrm{e}^{-\frac{x}{a}} )$

D. $y=\dfrac{a}{4} ( \mathrm{e}^{\frac{x}{a} }+ \mathrm{e}^{-\frac{x}{a}} )$