第2234题：旋转变换与辐角

设矩阵 $C=\begin{bmatrix} a & -b\\ b & a \end{bmatrix}$ ，其中 $a,b$ 为实数且不都等于零，$C$ 的特征值是 $\lambda=a \pm bi$ .

设 $r=|\lambda|=\sqrt{a^2+b^2}$ ，则有

$C=r\begin{bmatrix} \dfrac{a}{r} & -\dfrac{b}{r} \\ \dfrac{b}{r} & \dfrac{a}{r} \end{bmatrix}$

如下图，在复平面上画出 $a,b,r$ 三者的关系，其中角 $\phi$ 称为 $\lambda=a \pm bi$ 的辐角，可以得到

$\dfrac{a}{r}=\cos {\phi}$

$\dfrac{b}{r}=\sin {\phi}$

因此，

$C=\begin{bmatrix} r & 0 \\ 0 & r \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dfrac{a}{r} & -\dfrac{b}{r} \\ \dfrac{b}{r} & \dfrac{a}{r} \end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} r & 0 \\ 0 & r \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \cos {\phi} & -\sin {\phi} \\ \sin {\phi} & \cos {\phi} \end{bmatrix}$

所以 $C$ 是含有旋转变换的矩阵.

设 $A=\begin{bmatrix} \sqrt{3} & -3\\ 3 & \sqrt{3} \end{bmatrix}$

求 $A$ 的特征值的辐角是多少度？