第2235题：正交基的优点

关于正交基，有一个定理如下：

设{ $u_1,u_2,\cdots,u_p$ }是 $\mathbb{R}^n$ 中子空间 $W$ 的正交基，对 $W$ 中的每个向量 $y$ ，线性组合$y=c_1 u_1$$+c_2 u_2+\cdots+c_p u_p$ 中的权值可以由 $c_j=\dfrac{y \cdot u_j}{u_j \cdot u_j}$ ( $j=1,2,\cdots,p$ )计算而得. 其中 $y \cdot u_j$ 表示内积.

这一定理表明线性组合中的权值较易计算，这也是正交基比其他基优越之处.

已知集合 $S=$ { $u_1,u_2,u_3$ }是 $\mathbb{R}^3$ 中的一个正交基，其中

$u_1=\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ , $u_2=\begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ , $u_3=\begin{bmatrix} -\dfrac{1}{2} \\ -2 \\ \dfrac{7}{2} \end{bmatrix}$

要将向量 $y=\begin{bmatrix} 3 \\ 4 \\ -6 \end{bmatrix}$ 表示成S中向量的线性组合，应该是(  ).

A. $y=u_1-2u_2-3u_3$

B. $y=u_1+2u_2-2u_3$

C.$y=\dfrac{7}{11}u_1$ $-\dfrac{1}{6}u_2-\dfrac{61}{33}u_3$

D. $y=\dfrac{9}{11}u_1$ $-\dfrac{11}{16}u_2-\dfrac{11}{33}u_3$