第2178题：二次型矩阵例如三元二次型

$x_1^2-3x_2^2-x_3^2$ $+3x_1 x_2+4x_2 x_3$ ，有三个未知数，所以其二次型矩阵的大小为$3 \times 3$ ，为求出它的二次型矩阵，先画出下图

然后将二次型写成以下形式

$1x_1^2-3x_2^2-1x_3^2$ $+ \dfrac{3}{2}x_1 x_2 +\dfrac{3}{2}x_1 x_2$ $+2x_2 x_3+2x_2 x_3$

将上式中的系数，对应的填到上图中的矩阵中，空下的填 $0$ ，即得到它的二次型矩阵为

$\begin{bmatrix} 1 & \dfrac{3}{2} & 0 \\ \dfrac{3}{2} & -3 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \end{bmatrix}$

按以上方法，二次型

$-x_1^2+3x_3^2+3x_1x_3-x_2x_3$

的对称矩阵为(  ).

A. $\begin{bmatrix} -1 & \dfrac{3}{2} & 0 \\ \dfrac{3}{2} & 0 & -\dfrac{1}{2} \\ 0 & -\dfrac{1}{2} & 3 \end{bmatrix}$

B. $\begin{bmatrix} -1 & -\dfrac{1}{2} & \dfrac{3}{2} \\ -\dfrac{1}{2} & 0 & 0 \\ \dfrac{3}{2} & 0 & 3 \end{bmatrix}$

C. $\begin{bmatrix} -1 & 0 & \dfrac{3}{2} \\ 0 & 0 & -\dfrac{1}{2} \\ \dfrac{3}{2} & -\dfrac{1}{2} & 3 \end{bmatrix}$

D. $\begin{bmatrix} -1 & 0 & -\dfrac{1}{2} \\ 0 & 0 & \dfrac{3}{2} \\ -\dfrac{1}{2} & \dfrac{3}{2} & 3 \end{bmatrix}$