第2345题：函数的相关性

上一题中有以下定理：

如果函数 $y_1 (x)$ 与 $y_2 (x)$ 是方程 $y''+P(x)y'+Q(x)y=0$ 的两个线性无关的特解，那么 $y=C_1 y_1 (x) +C_2 y_2(x)$ 就是方程的通解.

定理里含有“函数组的线性无关”的概念，定义如下：

设 $y_1(x),y_2(x),\cdots,y_n(x)$ 为定义在区间 $I$ 上的 $n$ 个函数，如果存在 $n$ 个不全为零的常数 $k_1,k_2,\cdots,k_n$ ，使用当 $x \in I$ 时有恒等式

$k_1 y_1+k_2 y_2 +$ $\cdots+k_n y_n=0$

成立，称这 $n$ 个函数在区间 $I$ 上线性相关，否则称它们线性无关.

例如 $1,x,x^2$ 在任何区间内都线性无关，因为找不到不全为零的三个数 $k_1,k_2,k_3$ 使

$k_1+k_2 x +k_3 x^2=0$ .

对于两个函数的情形，它们线性相关与否，只要看它们的比是否为常数：如果比为常数，它们线性相关；否则线性无关.

以下哪组函数在其定义域内线性相关？

A. $\sin 2x, \cos x \sin x$

B. $\cos 2x, \sin 2x$

C.$\mathrm{e}^{-x},\mathrm{e}^{x}$

D. $\mathrm{e}^{ax},\mathrm{e}^{bx}$ $(a \ne b)$