第2283题：四叶草图形

三叶草的极坐标方程型如 $\rho =a+b \sin(3 \theta)$ ，例如 $\rho =4\sin(3 \theta)$ 的图形如下

四叶草的极坐标方程型如$\rho = a+ b \sin(2 \theta)$ ，例如 $\rho =4 \sin(2 \theta)$ 的图形如下

请计算以上四叶草图形在第一象限中围成的面积：

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{1}{2} (4\sin 2\theta)^2 d\theta$ .

A. $\pi$

B.$2\pi$

C. $4\pi$

D.$8\pi$

注： $\int \sin^2 x dx =$ $=\dfrac{x}{2} -\dfrac{1}{4} \sin 2x +C$