向量空间

一般用符号 $\mathbb{R}^n$  表示所有 $n$ 个实元素的向量的集合，$\mathbb{R}$ 表示向量中的元素是实数，$n$ 表示每个向量包含 $n$ 个元素. 把实数域中的每一个数称为标量或数. 结定 $\mathbb{R}^n$ 中的 $p$ 个向量 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_p$ 和 $p$ 个标量 $c_1,c_2,\cdots,c_p$ ，向量 $\beta= c_1 \alpha_1$ $+c_2 \alpha_2+ \cdots +c_p\alpha_p$ 称为向量 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_p$ 以 $c_1,c_2,\cdots,c_p$ 为权的线性组合.

若 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_p$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的向量，则 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_p$ 的所有线性组合所成的集合用记号 Span{α1,α2​,⋯,αp​} 表示，称为由  $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_p$ 所生成（或张成）的 $\mathbb{R}^n$ 的子集，也就是说 $Span \{ \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_p \}$  是所有形如 $c_1 \alpha_1+c_2 \alpha_2+ \cdots +c_p\alpha_p$ 的向量的集合. 

要判断向量 $\beta$ 是否属于 $Span \{ \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_p \}$ ，就是判断向量方程 $x_1 \alpha_1+x_2 \alpha_2+ \cdots +x_p\alpha_p=\beta$ 是否有解.

因此，$\mathbb{R}^2$ 可看作平面上所有点的集何.

那么，设 $v,u$ 是 $\mathbb{R}^3$ 中的两个线性无关的向量， $Span \{ v \}$ 和 $Span \{ v,u \}$ 的几何意义是什么？