面积原理例6

考察函数 $y=\dfrac{1}{x}$ ，当 $x>0$ 时，它是凸函数.

如图1，连接两点 $\Big ( a,\dfrac{1}{a} \Big )$ 与 $\Big ( b,\dfrac{1}{b} \Big )$ 的弦必在相应曲线段的上方，因此图1中梯形的面积必大于曲边梯形的面积.

如图2，过曲线上点 $\Big ( \dfrac{a+b}{2} , \dfrac{2}{a+b} \Big )$ 作曲线的切线，它与 $x=a$ ，$x=b$ 两线所围成的档形面积必小于曲边梯形的面积.

曲边梯形的面积为$\int_a^b \dfrac{dx}{x}$ .

由此，可得到不等式： $\dfrac{2}{a+b}< \dfrac{\ln b -\ln a}{b-a}$ $<\dfrac{a+b}{2ab}$ .