用逆序数判行列式展开项的符号

定义：一个排列中若排在前面的某个数大于排在后面的某个数，称它们构成一个逆序. 一个排列中逆序的总数称为该排列的逆序数，记作 $\tau()$ . 逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列.

观察三阶行列式

$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$

它的展开式等于

$a_{11}a_{22}a_{33} +a_{12}a_{23}a_{31}$ $+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}a_{23}a_{32}$ $-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}$

易见以下三条规律：

1) 三阶行列式展开式是 $3!$ 项代数和.

2) 三阶行列式展开式的每一项都是其不同行不同列的三个元素的乘积. 每一项除正负号外都可以写成 $a_{1j_1}a_{2j_2}a_{3j_3}$ ，它们的第一下标成自然序列 $123$ ，而第二下标恰为一个 $3$ 级排列 $j_1 j_2 j_3$ .

3) 三阶行列式的正项与负项各占一半. 当该项元素的行标按自然数顺序排列后，若对应的列标构成的排列是偶排列，此项取正号，是奇排列，此项取负号，因此各项所带的正负号为 $(-1)^{\tau( j_1 j_2 j_3)}$ .

于是，三阶行列式可以写成

$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$＝$\displaystyle \sum_{ j_1 j_2 j_3}{(-1)^{\tau( j_1 j_2 j_3)} a_{1j_1}a_{2j_2}a_{3j_3}}$ .

这三条规律可推广到n阶行列式.

设某个五阶行列式 $\mathrm{det} (a_{ij})$ 的展开项中的一项为 $a_{15}a_{23}a_{31}a_{42}a_{54}$ ，那么这一项的正负符号就是$(-1)^{\tau(53124)}$ ，