Wallis公式第2部分

上接Wallis公式准备工作，

当 $x \in(0,\pi/2)$ 时，$0<\sin x <1$ ，因此对任意 $n \in N^*$ ，有

$\sin^{2n+1} x<$ $\sin^{2x} x <\sin^{2n-1} x$

从 $0$ 到 $\pi/2$ 作积分，得到

$\int_0^{\pi/2} \sin^{2n+1} x dx <$ $\int_0^{\pi/2} \sin^{2x} x <\int_0^{\pi/2} \sin^{2n-1} x$ .

利用上一题的公式

$\int_0^{\pi/2} \sin^m x dx=$ $\begin{cases} \dfrac{(m-1)!!}{m!!} \dfrac{\pi}{2} &\text{,当m为偶数时,} \\ \\ \dfrac{(m-1)!!}{m!!} &\text{,当m为奇数时.} \end{cases}$

得到

$\dfrac{(2n)!!}{(2n+1)!!} <$ $\dfrac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \dfrac{\pi}{2} <$ $\dfrac{(2n-2)!!}{(2n-1)!!}$

以上不等式两边同乘以 $2/\pi$ ，再同时取倒数并改变小于号方向，得到

$\dfrac{2n}{2n+1} \dfrac{\pi}{2} <$ $\dfrac{[(2n)!!]^2}{(2x+1)[(2n-1)!!]^2}<\dfrac{\pi}{2}$

（如果以上推导过程不明白，可在做完本题后，回到本题，点解题过程查看推导. ）

由夹逼原理得到

$\displaystyle{\lim_{n \to \infty}} \dfrac{1}{2n+1}$ $\Big ( \dfrac{2\times 4 \cdots 2n}{1\times 3 \cdots (2n-1)} \Big )^2$ $=\dfrac{\pi}{2}$

上式即为Wallis公式，也可以写为：

$\sqrt{\pi} = \displaystyle{\lim_{n \to \infty}} \dfrac{(n!)^2 2^{2n}}{(2n)! \sqrt{n}}$

从Wallis公式可以推导出用于估计 $n!$ 的Stirling公式.

约翰·沃利斯（John Wallis，1616-1703）是牛顿之前，17世纪英国最重要的数学家之一，在微积分、代数和符号体系的发展中做出了开创性贡献，沃利斯引入了 ∞ 符号并在推广分数指数、插值法、无穷级数、二项式定理、密码学、微积分先驱工作等方面做出重要贡献.