wallis公式准备工作

令 $I_m=\int_0^{\pi/2} \sin^m x dx$ ，根据面积关系得到 $I_m=\int_0^{\pi/2} \cos^m x dx$ .

$I_0=\dfrac{\pi}{2}$

$I_1=1$

当 $m \geqslant 2$ 时

$I_m=\int_0^{\pi/2} \cos^{m-1} x d \sin x$

$=\Big [ \cos^{m-1} x \sin x \Big ]_0^{\pi/2}$ $+(m-1)\int_0^{\pi/2} \cos^{m-2} x \sin^2 x dx$

$=(m-1)\int_0^{\pi/2} \cos^{m-2} x (1-\cos^2 x) dx$

$=(m-1)I_{m-2}-(m-1)I_m$

得到递推公式

$I_m=\dfrac{m-1}{m} I_{m-2}$  

引入以下数学符号：

$(2n-1)!!=$ $1 \times 3 \times 5 \times \cdots \times(2n-1)$

$(2n)!!=$ $2 \times 4 \times 6 \times \cdots \times (2n)$

则 $I_m$ 可以表示为：

$I_m = \begin{cases} \dfrac{(m-1)!!}{m!!} \dfrac{\pi}{2} &\text{,当m为偶数时,} \\ \\ \dfrac{(m-1)!!}{m!!} &\text{,当m为奇数时.} \end{cases}$