一个有趣的矩阵知识点

先来看一个例子：

设矩阵

$A_{3 \times 2}=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$

$B_{2 \times 3}=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$ ，

计算 $|AB|$ 等于多少?

解得：$|AB|=\begin{vmatrix} 9 & 12 & 15 \\ 19 & 26 & 33 \\ 6 & 9 & 12 \end{vmatrix}=0$ .

再找个例子，设

$C_{4 \times 3}=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 1 \end{bmatrix}$ ,

$D_{3 \times 4}=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 & 1 \end{bmatrix}$ ，

计算 $|CD|$ 等于多少?

解得：$|CD|=\begin{vmatrix} 11 & 9 & 10 & 7 \\ 21 & 19 & 20 & 17 \\ 10 & 9 & 14 & 11 \\ 15 & 12 & 12 & 8 \end{vmatrix}=0$ .

是不是很奇怪？用这种方式得到的 $m \times m$ 方阵的行列式的值必然为 $0$ .

但你自己随手写一些不全为 $0$ 的 $m \times m$ 的方阵，它的行列式为 $0$ 的几率非常低.

下期给出一个证明过程，下面先铺垫一下.

我们知道，如果一个行列式的值等于 $0$ ，如

$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{bmatrix}=0$

说明组成此行列式的向量组

$\alpha_1=(a_{11},a_{21},a_{31},a_{41})^T$ ,

$\alpha_2=(a_{12},a_{22},a_{32},a_{42})^T$ ,

$\alpha_3=(a_{13},a_{23},a_{33},a_{43})^T$ ,

$\alpha_4=(a_{14},a_{24},a_{34},a_{44})^T$

线性相关，即可以找到一组不全为零的数 $k_1,k_2,k_3,k_4$ 使得

$k_1 \alpha_1 +k_2 \alpha_2+k_3 \alpha_3+ k_4 \alpha_4=0.$

反之，如果

$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{bmatrix} \ne 0$

那么向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$ 线性无关，即无法找到一组不全为零的数 $k_1,k_2,k_3,k_4$ 使得

$k_1 \alpha_1 +k_2 \alpha_2+k_3 \alpha_3+ k_4 \alpha_4=0.$

如果一组向量线性相关，说明其中至少有一个向量可以表示为其它几个向量的线性组合.

如果一组向量线性无关，说明其中任何一个向量都不可以表示为其它几个向量的线性组合.

相应的，若向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 能由向量组 $\beta_1,\beta_2,\beta_3$ 线性表示，则三个方程组

$x_{i1} \beta_1 + x_{i2} \beta_2+ x_{i3} \beta_3$ $=\alpha_{i} (i=1,2,3)$

均有解.

若向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 不能由向量组 $\beta_1,\beta_2,\beta_3$ 线性表示，则三个方程组

$x_{i1} \beta_1 + x_{i2} \beta_2+ x_{i3} \beta_3$ $=\alpha_{i} (i=1,2,3)$

至少有一个无解.

未完待续.