特征方程

为解二阶常系数齐次微分方程

$y''+py'+qy=0$

通常设解为

$y= \mathrm{e}^{rx}$ ，

求导得到

$y'=r \mathrm{e}^{rx}$ , $y''=r^2 \mathrm{e}^{rx}$

代入原方程得到

$(r^2+pr+q) \mathrm{e}^{rx}=0$

由于$\mathrm{e}^{rx} \ne 0$ ，因此 $r^2+pr+q=0$ .

可见只要 $r_1,r_2$ 满足以上方程，函数 $y_1=\mathrm{e}^{r_1 x}$ 和 $y_2=\mathrm{e}^{r_2 x}$ 就是原微分方程的解，又由于

$\dfrac{\mathrm{e}^{r_1 x}}{\mathrm{e}^{r_2 x}}$ = $\mathrm{e}^{(r_1 -r_2)x}$ 不是常数，

所以原方程的通解为

$y=C_1 \mathrm{e}^{r_1 x} +C_2 \mathrm{e}^{r_2 x}$ .

因此，方程 $r^2+pr+q=0$ 也称为原微分方程的特征方程.

如果特征方程的两个根相同 $r_1=r_2=-\dfrac{p}{2}$ ，只得到微分方程的一个解 $y_1=\mathrm{e}^{r_1 x}$ ，如何找出微分方程的另一个解来构成通解呢？

一个简单的办法是令 $y_2=x\mathrm{e}^{r_1 x}$ ，正好满足 $\dfrac{y_2}{y_1}=x$ 不是常数，验证 $y_2$ 是否原方程的解：

$y_2 '=\mathrm{e}^{r_1 x} (1+r_1 x)$

$y_2 ''=\mathrm{e}^{r_1 x} (2r_1 +r_1^2 x)$

代入原二阶常系数齐次微分方程 $y''+py'+qy=0$ ，得到

$\mathrm{e}^{r_1 x} [ 2r_1 +p$ $+x(r_1^2+pr_1 +q) ]$

其中 $2r_1 +p=0$ ， $r_1^2+pr_1 +q=0$ ，所以是原方程的解. 从而二阶常系数齐次微分方程的通解为：

$y=C_1 \mathrm{e}^{r_1 x} + C_2 x \mathrm{e}^{r_1 x}.$

如果微分方程的特征方程的 $r^2+pr+q=0$ 根是两个不相等的复根

$r_1=\alpha + \beta i$

$r_2=\alpha - \beta i$

其中

$\alpha=-\dfrac{p}{2}$ ，$\beta=\dfrac{\sqrt{4q-p^2}}{2}$

那么微分方程 $y''+py'+qy=0$ 的通解为：

$y=\mathrm{e}^{\alpha x}$ $(C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x)$ .