相似矩阵与可对角化

对于矩阵 $A$ ，如果存在可逆矩阵 $P$ ，使得

$P^{-1}AP=B$ ，称矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ 相似，记为 $A\thicksim B$ . 相似矩阵有以下性质：

A. 若 $A\thicksim B$ ，则 $|A|=|B|$

B. 若 $A\thicksim B$ ，且 $A$ 可逆，则 $A^{-1}~B^{-1}$

C. 若 $A\thicksim B$ ，则 $r(A)=r(B)$

D. 若 $A\thicksim B$ ，则 $tr(A)=tr(B)$

E. 若 $A\thicksim B$ ，则 $A$ 与 $B$ 有相同的特征多项式：$|\lambda E-A|=|\lambda E-B|$

若 $A$ 与对角矩阵 $B$ 相似，则称 $A$ 可对角化

$n$ 阶矩阵 $A$ 可对角化的充要条件是 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量，或 $A$ 有 $n$ 个互异的特征值.